10.物理系统的基础理论和算法

物理系统的基础理论和算法

基础概念入门

物理是构建可信、动态游戏世界的基石。

1. 物理在游戏中的重要性

核心观点: 物理系统是连接玩家与游戏世界的桥梁，它不仅增强了真实感，更是许多现代游戏玩法的核心机制。

• 建立玩家直觉 (Establishing Player Intuition): 物理是玩家理解和与游戏世界互动的基础。一个没有物理的虚拟世界是难以令人信服的。
• 构建动态环境 (Building Dynamic Environments): 物理可以创造出可被玩家行为改变的环境，从而直接影响游戏玩法 (Gameplay)。
  • 经典案例: 《The Finals》 (战地风云系列也是) 中通过破坏墙体来改变战术路径和视野。
• 创造可交互世界 (Creating Interactive Worlds): 物理为玩家提供了丰富的、可自由探索的交互方式，极大地提升了沉浸感。
  • 巅峰之作: 《Half-Life: Alyx》中极致的 VR 物理交互，让玩家能与世界中的几乎所有物体进行真实的互动。
• 驱动视觉表现 (Driving Visual Effects): 许多现代视觉效果完全依赖于物理模拟。
  • 常见应用: 粒子 (Particle)、烟雾 (Smoke)、水体 (Water Simulation)，以及尤其重要的 布料模拟 (Cloth Simulation)。

2. 物理课程规划：从基础到前沿

本次物理部分的课程将分为两节课。

• 第一节课 (本讲): 打好基础

  • 目标: 学习如何用物理的语言来描述世界，理解物理世界中的核心元素及其相互关系。
  • 内容: 讲解最基本的概念，会点到一些底层算法，但重点是让开发者理解如何将一个物理引擎接入到自己的游戏引擎中。

• 第二节课 (下讲): 开拓视野

  • 目标: 探索物理系统中更高级、更有趣的前沿技术。
  • 内容: 角色控制器 (Character Control)、 布娃娃系统 (Ragdoll) 、破坏效果 (Destruction)、布料模拟 (Cloth Simulation)、载具系统 (Vehicle System)，以及一个越来越火的概念—— 基于位置的动力学 (Position-Based Dynamics, PBD)。

3. 物理世界的核心概念：Actor 与 Shape

核心观点: 游戏世界实际上存在两个平行的空间：玩家看到的渲染世界和处理逻辑与碰撞的物理世界。物理世界是渲染世界的“孪生兄弟”。

• 关键术语:

  • Actor / Shape: 在物理引擎中，用来描述物体的基本单位。它们是渲染世界中游戏对象（如角色、道具）在物理世界中的简化抽象表示。

• 核心思想：渲染与物理的分离 (Separation of Rendering and Physics)

  • 渲染世界 (Rendering World): 这是玩家能看到的世界。它由高精度的模型、复杂的动画和华丽的视觉效果构成。

  • 物理世界 (Physics World): 这是游戏逻辑发生的世界。它由一系列简化的几何体（如胶囊体、球体、盒子）构成，这些几何体就是 Actor 或 Shape。所有的碰撞检测、力学计算都在这个世界中高效进行。

  简单来说：你在屏幕上看到一个细节丰富的士兵模型在奔跑（渲染世界），但在物理引擎内部，它可能只是一个简单的 胶囊体 (Capsule Shape) 在移动和进行碰撞检测（物理世界）。游戏引擎负责让这两个世界的状态保持同步。

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Actor 与 Shape

在深入物理引擎的内部机制之前，我们首先需要理解它所操作的基本对象。这部分内容将物理世界从渲染世界中剥离出来，并详细介绍了构成物理世界的两种基本元素： Actor (物理演员) 和 Shape (几何形状)。

一、 物理世界 vs. 渲染世界 (Physics World vs. Rendering World)

游戏引擎通常会维护两个并行的世界：一个是玩家看到的渲染世界，另一个是处理游戏逻辑和物理交互的物理世界。

• 核心观点: 渲染世界负责“表现”，而物理世界负责“逻辑”。我们看到的精美模型、动画和特效属于渲染世界；而决定这些物体如何移动、碰撞和响应的规则则发生在物理世界。
• 举例:
  • 渲染侧: 一个高精度的、带有复杂动画的角色模型。
  • 物理侧: 一个简单的 胶囊体 (Capsule)，它代表了这个角色的碰撞体积，在物理世界中进行移动和碰撞检测。这个胶囊体就是我们接下来要讲的 Actor。

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二、 物理世界的基本单元：Actor

Actor 是物理引擎处理的基本对象。每一个需要参与物理交互的物体，在物理世界中都有一个对应的 Actor。根据其行为和特性，Actor 主要分为以下四种类型。

1. 静态 Actor (Static Actor)

• 核心观点: 构成世界“骨架”的、不可移动的物体。它们是物理世界的基础，为动态物体提供了一个可交互的环境。
• 关键术语: Static Actor
• 特点:
  • 固定不动: 它们的位置和方向在模拟过程中永远不会改变。
  • 计算开销极低: 引擎不需要为它们更新状态或求解力，只需将它们作为碰撞的障碍物。
  • 数量庞大: 在大多数游戏中，静态 Actor 是数量最多的类型，例如地面、墙壁、不可摧毁的建筑和道具。
• 例子: 游戏中的地形、墙壁、无法破坏的桌子或掩体。

2. 动态 Actor (Dynamic Actor)

• 核心观点: 遵循物理定律（动力学）进行运动的物体。它们是物理模拟的核心，为游戏世界带来生机和真实感。
• 关键术语: Dynamic Actor, Dynamics (动力学)
• 特点:
  • 受力驱动: 它们的运动由重力、摩擦力、碰撞力等外部作用力决定。
  • 拥有物理属性: 具有质量、惯性、速度等物理量。
  • 计算开销高: 引擎需要在每一帧都为它们进行状态更新和力学计算。
• 例子: 可以被踢飞的箱子、下落的石块、爆炸后四散的碎片。

3. 触发器 (Trigger)

• 核心观点: 用于游戏逻辑检测的、不可见的、无实体碰撞的特殊 Actor。它们是物理世界与游戏事件系统之间的桥梁。
• 关键术语: Trigger
• 特点:
  • 无物理碰撞: 其他物体可以自由穿过它，不会产生物理碰撞反应。
  • 事件驱动: 当其他 Actor 进入、停留或离开其范围时，会触发一个预定义的事件或消息。
  • 逻辑关联: 紧密服务于游戏玩法（Gameplay），如触发剧情、打开机关、造成区域伤害等。
• 例子: 角色走近自动门时，门前有一个看不见的 Trigger，它检测到角色进入后，发送“开门”消息。

4. 运动学 Actor (Kinematic Actor)

• 核心观点: 由动画或代码直接控制运动，可以影响其他物体，但自身不受物理作用力影响的“反物理”物体。
• 关键术语: Kinematic Actor
• 特点:
  • 运动被直接指定: 它的位置和旋转由外部系统（如动画系统、玩家输入）在每一帧强制设定，完全无视牛顿定律。
  • 单向交互: 它可以推开、碰撞动态 Actor，但反作用力对它无效。可以把它想象成一个拥有无穷大质量和力量的物体。
  • 潜在的“Bug之源”: 由于其“反物理”特性，在与动态 Actor 交互时，如果处理不当，可能会产生不合逻辑的巨大作用力或冲量，导致动态物体被“炸飞”出去。
• 例子:
  • 玩家控制的角色: 它的移动直接响应玩家的输入，而不是物理力的计算结果。
  • 动画驱动的 Boss 攻击: Boss 挥舞的武器，其轨迹由动画数据决定，当它击中玩家时，会对玩家施加力。
  • 移动平台、电梯: 它们的运动轨迹是预设好的。

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三、 Actor 的几何表示：Shape

物理引擎不会直接使用高精度的渲染模型（Render Mesh）进行计算，因为体与体之间的求交算法极其复杂和耗时。取而代之的是，它使用一系列被称为 Shape 的简化几何体来表示 Actor 的碰撞体积。

• 核心观点: 为了性能，物理计算使用简化的、易于解析的几何形状（Shape）来近似表达物体的轮廓。

常见的 Shape 类型

1. 球体 (Sphere)

   • 描述: 由一个圆心和半径定义。
   • 优点: 最简单的几何体，碰撞检测计算速度最快。
   • 应用: 球类、简单的粒子或子弹。

2. 胶囊体 (Capsule)

   • 描述: 由连接两个半球的圆柱体构成。
   • 优点: 碰撞检测简单快速，能够平滑地滑过物体边缘。
   • 应用: 绝大多数游戏中的角色控制器（Character Controller）的标准选择。

3. 盒体 (Box)

   • 描述: 长方体，可以是轴对齐的（AABB）或任意朝向的（OBB）。
   • 优点: 能很好地近似方正的物体。
   • 应用: 箱子、门、墙壁、书籍等。

4. 凸包/凸多面体 (Convex Hull)

   • 描述: 一个没有任何凹陷的封闭多面体。可以理解为用一个橡皮筋包裹住一组顶点后形成的形状。
   • 优点: 能比基础形状更精确地表达不规则物体的外形。
   • 应用: 不规则的岩石、车辆底盘、复杂的机械零件。

5. 更复杂的类型:

   • 三角网格 (Triangle Mesh): 直接使用一组三角形构成的网格。通常只用于 静态 Actor，如复杂的地形或建筑，因为动态网格间的碰撞检测非常昂贵。
   • 高度场 (Heightfield): 一个 2D 网格，每个点上存储一个高度值。是表达起伏地形（如山脉、丘陵）的最高效方式。

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要点回顾

• 物理引擎在独立的物理世界中运行，通过 Actor 与渲染世界的物体对应。
• Actor 分为四种：
  • Static: 不动的世界背景。
  • Dynamic: 遵循物理定律的物体。
  • Trigger: 用于触发游戏逻辑的隐形区域。
  • Kinematic: 由动画/代码驱动的“反物理”物体，功能强大但需谨慎使用。
• 为了计算效率，Actor 的物理形态由简化的 Shape (球、胶囊、盒体等)来表示，而不是复杂的渲染模型。

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Actor Shape 与物理材质

在上一部分我们理解了物理世界由一个个 Actor 构成，而这部分我们将深入探讨如何定义这些 Actor 的几何形态（Shape）及其物理属性，这是决定物理模拟行为与性能的关键。

一、Actor Shape：物理世界的几何表达

在物理引擎中，我们不会直接使用渲染模型（Render Mesh）进行计算，因为它们过于复杂。取而代之，我们使用一系列被称为 Shape 的简化几何体来 近似（Approximation） 物体的轮廓。选择合适的 Shape 是在效果与性能之间取得平衡的艺术。

1.1 基础几何体 (Basic Primitives)

这些是计算成本最低、最常用的 Shape 类型。

• 球体 (Sphere):

  • 核心观点: 最简单的碰撞体，计算效率极高。
  • 应用场景: 小型物体（如桌球、子弹）、各种球类运动，或作为复杂物体的一个粗略的近似。

• 胶囊体 (Capsule):

  • 核心观点: 由一个圆柱体和两个半球体组成，非常适合表达细长、圆润的物体。
  • 应用场景: 角色控制器。在现代游戏中，角色（尤其是人形角色）的物理表示几乎都采用胶囊体。它能很好地模拟人物的身高和体积，同时保持计算的简洁性。

• 盒体 (Box):

  • 核心观点: 用途极其广泛，适合表达各种方正的物体。
  • 应用场景: 建筑、箱子、载具等绝大多数人造物体的近似。

1.2 复杂几何体 (Complex Geometry)

当基础几何体无法满足精度要求时，我们会使用更复杂的 Shape，但它们也带来了更高的计算开销。

• 凸包网格 (Convex Mesh):

  • 核心观点: 由一组顶点构成的凸多面体。它比基础几何体更贴合物体外形，但计算复杂度也更高。
  • 应用场景: 复杂的、需要精确碰撞的动态物体。例如，在可破坏场景中，破碎后产生的石块或碎片，使用 Convex Mesh 可以让它们的碰撞和堆叠行为显得非常逼真。

• 三角网格 (Triangle Mesh / Concave Mesh):

  • 核心观点: 直接使用三角形网格作为碰撞体，可以最精确地表达任意复杂的形状（包括凹面）。
  • 关键限制: 由于其极高的计算复杂度，目前主流物理引擎 通常只允许静态物体 (Static Actor) 使用。让一个复杂的 Triangle Mesh 动起来并与其他物体进行精确碰撞检测，成本极高。
  • 应用场景: 复杂的静态场景，如一座带有内部结构的房子、一个复杂的雕塑等。

• 高度场 (Height Field):

  • 核心观点: 一种特殊的2D网格，每个点存储一个高度值，专门用于表达地形。
  • 应用场景: 游戏世界中的大型地形。直接对地形建模进行碰撞检测是不可想象的，Height Field 提供了一种高效的解决方案。

二、Shape 使用的核心原则

错误地选择 Shape 是导致物理模拟性能瓶颈或诡异 Bug 的主要原因之一。

1. 近似原则 (The Approximation Principle):

   • 核心观点: 物理 Shape 永远是渲染模型的一个近似。不需要、也不应该追求100%的精度匹配。物理模拟的目的是“看起来可信”，而不是“物理上完全精确”。

2. 简化原则 (The Simplicity Principle):

   • 核心观点: 永远优先使用最简单的 Shape。能用球体，就不用胶囊体；能用胶囊体，就不用盒体；能用基础几何体，就绝不用 Convex Mesh 或 Triangle Mesh。
   • 性能层级（由快到慢）: Sphere > Capsule > Box >> Convex Mesh >>> Triangle Mesh

三、Shape 的物理属性

定义了几何形态后，我们还需要赋予它物理世界的属性。

3.1 质量 (Mass) 与密度 (Density)

• 核心观点: 物体的运动响应（如受到冲击后飞多远）由其质量决定。在引擎中，你可以直接设置 质量 (Mass)，也可以设置 密度 (Density)，引擎会根据 Shape 的体积自动计算出质量。
• 关键假设: 物理引擎通常假设 Actor 的质量是均匀分布的。
• 趣味案例 - Gömböc (干波体):
  • 这是一个只有一个稳定平衡点的均质物体。这个例子生动地说明了，在质量均匀的前提下，物体的几何形状对其物理行为有着决定性的、有时甚至是反直觉的影响。这也侧面印证了物理计算的精妙与复杂性：微小的计算误差可能导致行为的巨大差异。

3.2 质心 (Center of Mass)

• 核心观点: 质心是物体质量的平均分布点，所有外力都可以看作是作用在质心上。
• 应用场景: 在大多数情况下引擎会自动计算，但在特定模拟中至关重要，例如 载具（Vehicle）模拟。调整车辆的质心高度会极大地影响其行驶稳定性与操控手感，是赛车游戏调校的核心参数之一。

四、物理材质 (Physics Material)

这是定义物体表面交互特性的关键概念。

4.1 物理材质 vs. 渲染材质

• 核心观点: 这是两个完全不同的概念，初学者极易混淆。
  • 渲染材质 (PBR Material): 描述物体表面如何与光线交互，定义的是光学属性（如粗糙度、金属度）。
  • 物理材质 (Physics Material): 描述物体表面如何与其他物体进行物理交互，定义的是力学属性。

4.2 核心属性

• 摩擦力 (Friction):

  • 核心观点: 定义了物体接触时相互滑动的阻力大小。
  • 示例: 玻璃弹珠在桌面上的摩擦力很小，会滑动很远；而橡皮块的摩擦力很大，很快就会停下。

• 弹性 (Restitution / Bounciness):

  • 核心观点: 定义了物体碰撞后能量的恢复程度，即“弹力”的大小。
  • 示例: 一个钢制小球从高处落下会弹得很高（弹性系数接近1），而一个橡皮泥团则几乎不反弹（弹性系数接近0）。

4.3 扩展应用

在完整的游戏引擎中，物理材质的概念会进一步扩展，关联到 音效（SFX） 和 特效（VFX）。例如，当一个金属物体（物理材质为“金属”）与木头物体碰撞时，系统可以根据材质类型自动播放“金属撞木头”的音效和相应的火花特效。

五、驱动世界的力 (Force)

有了静态的 Actor、Shape 和物理材质，整个世界依然是静止的。要让世界“动”起来，就需要引入牛顿力学中的核心概念—— 力 (Force)。力是改变 Actor 运动状态的根本原因，常见的力包括 重力 (Gravity) 、 拉力 (Tension) 、 摩擦力 (Friction) 等。这将在下一部分详细展开。

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力、运动与模拟的数学本质

在构建虚拟世界的物理规则时，我们不仅是在复现现实，更是在将经典的物理学理论转化为计算机可以理解和执行的离散步骤。本篇笔记将深入探讨游戏世界中“力”与“运动”的基本概念，并揭示从牛顿定律的直观理解到游戏引擎中离散化、数学化表达的演进过程。

一、 物理世界的第一推动力：力 (Force)

如果说物理世界由各种物体（Actor）构成，那么 力 (Force) 就是驱动这个静态世界、使其产生一切运动的根本原因。在游戏引擎中，力是改变物体状态的核心机制。

1. 持续力 (Continuous Force)

这类力在一段时间内持续、稳定地作用于物体上。

• 核心观点: 持续力是构建世界基础物理环境的关键，负责模拟常见的自然现象。
• 关键术语: 重力 (Gravity), 摩擦力 (Friction), 拉力 (Tension)。
• 应用示例:
  • 角色死亡后， 布娃娃系统 (Ragdoll) 在重力作用下自然倒地。
  • 敌人被击败后，尸体在重力和摩擦力的共同作用下从山坡上滑落。

2. 冲量 (Impulse)

这是一种在极短时间内作用于物体的巨大作用力，通常与游戏中的突发事件相关。

• 核心观点: 冲量用于模拟剧烈的、瞬时的物理交互，为游戏世界带来动态和冲击感。
• 关键术语: 冲量 (Impulse)。
• 应用示例:
  • 车辆撞击角色，瞬间将其撞飞。
  • 爆炸产生冲击波，将周围的物体推开。
• 物理关系: 冲量本质上是力在时间上的累积效应。

  冲量 = 力 × 时间

二、 运动的数学表达：从牛顿定律到离散积分

有了力和物体，我们就可以定义运动 (Movement)。游戏引擎并非直观地理解“运动”，而是通过离散的数学公式来描述和计算每一步的状态变化。这本质上是将我们从初中到大学所学的物理知识，用计算机的语言重新表达一遍。

1. 牛顿第一定律：匀速直线运动

• 经典描述: 物体在不受外力时，保持静止或匀速直线运动状态。
• 引擎中的数学表达: 引擎在一个个不连续的时间步长 Δt (delta t) 内更新状态。对于匀速运动：
  • 速度更新: 速度保持不变。 $$V(t+\Delta t)=V(t)$$
  • 位置更新: 新位置等于旧位置加上速度方向上的位移。 $$X(t+\Delta t)=X(t)+V(t)\cdot \Delta t$$
• 核心观点: 即便是最简单的物理定律，在引擎中也必须被翻译成基于 离散时间步长 ($\Delta t$) 的迭代公式。这个框架是后续所有复杂运动模拟的基础。

2. 牛顿第二定律：匀加速运动

• 经典描述: 物体的加速度与所受外力成正比，与自身质量成反比 ($F=ma$)。
• 关键术语: 质量 (Mass)，在物理学中，它被定义为物体抵抗其运动状态被改变的度量。
• 引擎中的数学表达: 对于受恒定外力（即恒定加速度 A）的物体：
  • 位置更新: 在匀速运动的基础上，增加一个由加速度产生的位移项。 $$X(t+\Delta t)=X(t)+V(t)\cdot \Delta t+\frac{1}{2}A(\Delta t{)}^2$$
• 核心观点: 这个公式就是我们熟知的位移公式，但它被应用在每一个微小的 $\Delta t$ 时间片内，通过不断迭代来模拟整个运动过程。

三、 真实世界的挑战：变力与积分

在真实和有趣的游戏世界中，力几乎永远不是恒定的。例如弹簧的弹力随形变量而变，单摆的回复力随角度而变，行星受到的引力随距离而变。

• 核心问题: 当力（以及加速度 A）随时间或位置不断变化时，简单的 $\frac{1}{2}A(\Delta t{)}^2$ 公式失效。
• 解决方案: 必须使用 积分 (Integration) 的思想来计算状态的累积变化。
  • 速度更新: 速度的变化量是 加速度函数 $A(\tau )$ 在 $[t,t+\Delta t]$ 时间段内的积分。 $$V(t+\Delta t)=V(t)+{\int }_t^{t+\Delta t}A(\tau )d\tau$$
  • 位置更新: 位置的变化量是 速度函数 $V(\tau )$ 在 $[t,t+\Delta t]$ 时间段内的积分。 $$X(t+\Delta t)=X(t)+{\int }_t^{t+\Delta t}V(\tau )d\tau$$
• 核心观点: 真实物理模拟的本质，是求解描述物体状态变化的微分方程。在计算机中，我们无法求出连续的解析解，只能通过数值方法在离散的时间步长上“求解”这些积分。

四、 核心难题：用离散步长模拟连续运动

为了更具体地理解这个挑战，我们来看一个经典的例子：模拟地球绕太阳的圆周运动。

• 模拟目标: 我们不直接告诉引擎“画一个圆”。我们只提供物理规则：地球在每个位置都受到一个指向太阳的万有引力。引擎需要通过自己的计算，一步步（一个 tick 接一个 tick）地模拟出地球的运动轨迹。
• 评价标准: 如果经过足够多的离散步骤后，最终形成的轨迹是一个稳定的圆形（或椭圆），那么我们的物理模拟方法就是正确的。如果轨迹发散（飞离）或收缩（坠入太阳），则说明模拟方法存在误差。
• 核心挑战: 如何将连续变化的引力（方向和大小都在变）和速度，精确地转化到离散的 tick （例如 1/30 秒）中进行计算，并保证长期模拟的稳定性。

五、 解决方案的引出：数值积分与欧拉方法

上述的积分公式在数学上是完美的，但在计算机中无法直接计算。我们需要一种近似计算积分的方法，这就是 数值积分 (Numerical Integration)。

• 核心思想: 将复杂的积分问题，转化为在每个微小的 $\Delta t$ 内进行的简单的、近似的代数运算。
• 即将登场: 历史上，解决这个问题的先驱之一是伟大的数学家 欧拉 (Euler)。他提出的欧拉方法是数值积分中最简单、最基础的一种，也是我们理解现代物理引擎模拟的第一步。

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游戏物理模拟核心：数值积分方法解析

在游戏引擎中，为了让物体表现出符合物理规律的运动（如抛物线、碰撞、旋转等），我们需要模拟物理世界。然而，计算机无法处理连续的时间，只能在离散的时间步长（$\Delta t$）上进行一帧一帧的计算。这个将连续运动方程离散化求解的过程，就是数值积分。

本次讲座的核心，就是探讨和对比几种主流的数值积分方法，理解它们的优缺点以及在游戏开发中的适用场景。

一、核心问题：如何模拟连续运动？

我们以一个简单的圆周运动为例：一个小球受到一个始终指向圆心的引力。在理想的物理世界中，它会形成一个完美的圆形轨道。

我们的目标是：通过在每个离散的时间点 t 计算小球的受力、加速度、速度和位置，来近似模拟出这个连续的运动轨迹。

基本思路如下：

1. 在 t 时刻，根据小球位置 x(t) 计算它受到的力 F(t)。
2. 根据牛顿第二定律 F=ma，计算出加速度 a(t)。
3. 根据加速度更新速度 v(t)。
4. 根据速度更新位置 x(t)。

这个过程看似简单，但具体“如何更新”速度和位置，衍生出了不同的积分方法，它们的效果和稳定性天差地别。

二、显示欧拉积分 (Explicit Euler Integration)

显示欧拉法是最直观、最简单的数值积分方法，完全符合我们的第一直觉。

核心思想

用当前时刻 (t) 的状态，去预测下一个时刻 (t+Δt) 的状态。

这意味着，在计算 $t+\Delta t$ 的位置时，我们使用的是 $t$ 时刻的速度，完全不考虑在 $\Delta t$ 这段时间内速度自身发生的变化。

算法步骤

1. 计算下一时刻的速度 $v(t+\Delta t)$:

   • 用当前时刻的加速度 $a(t)$ 更新。
   $$v(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\cdot \Delta t$$

2. 计算下一时刻的位置 $x(t+\Delta t)$:

   • 用当前时刻的速度 $v(t)$ 更新。
   $$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\cdot \Delta t$$

评估

• 优点: 实现极其简单，计算量小。
• 致命缺陷: 能量不守恒 (Energy is not conserved)，系统极其 不稳定 (Unstable)。
  • 在圆周运动的例子中，由于计算位置时使用的速度 $v(t)$ 总是“慢一拍”（没有及时将物体拉回轨道），导致运动轨迹会不断向外发散，最终“爆炸”。
  • 这意味着能量在模拟过程中被凭空创造了出来，这严重违背了物理规律。这与我们在光照模型中追求的能量守恒原则是类似的，一个不守恒的系统是不可靠的。

三、隐式欧拉积分 (Implicit Euler Integration)

为了解决显示欧拉法的不稳定性问题，数学家们提出了隐式欧拉法。

核心思想

用未来时刻 $t+\Delta t$ 的状态，来反向推算并更新当前的状态。

具体来说，在计算 $t+\Delta t$ 的位置时，我们使用的是 $t+\Delta t$ 时刻的速度。

算法步骤

1. 计算下一时刻的速度 $v(t+\Delta t)$:

   • 用下一时刻的加速度 $a(t+\Delta t)$ 更新。
   $$v(t+\Delta t)=v(t)+a(t+\Delta t)\cdot \Delta t$$

2. 计算下一时刻的位置 $x(t+\Delta t)$:

   • 用下一时刻的速度 $v(t+\Delta t)$ 更新。
   $$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t+\Delta t)\cdot \Delta t$$

评估

• 优点: 系统是 稳定 (Stable) 的，能量不会凭空增加，模拟不会“爆炸”。
• 缺点:
  1. 计算极其复杂: 这是一个“鸡生蛋还是蛋生鸡”的问题。为了计算 $v(t+\Delta t)$，你需要知道 $a(t+\Delta t)$，而加速度又依赖于位置 $x(t+\Delta t)$，但你计算位置又需要速度。这通常需要求解复杂的方程组，在实时游戏引擎中开销巨大。
  2. 能量衰减 (Energy Damping): 虽然系统稳定，但它倾向于消耗能量。在圆周运动的例子中，轨迹会不断向内收缩，最终趋于静止。不过，在游戏中，这种能量衰减有时可以被接受，因为它类似于现实世界中的空气阻力或摩擦力。

核心权衡: 在物理模拟中，我们更能接受能量的耗散（世界趋于静止），而无法接受能量的凭空创造（世界变得混乱）。因此，稳定性通常是比能量精确守恒更重要的考量。

四、半隐式欧拉积分 (Semi-Implicit Euler) - 游戏开发首选

半隐式欧拉法，也称为辛欧拉法(Symplectic Euler)，是一种巧妙的折中方案，它兼具了前两者的优点，是游戏物理引擎中最常用的方法之一。

核心思想

这是一个两步过程：先更新速度，再用这个“新”的速度去更新位置。

它混合了显示和隐式的思想：计算加速度时，它像显示法一样使用当前位置；但在计算位移时，它像隐式法一样使用了“未来”的速度。

算法步骤

1. 计算下一时刻的速度 $v(t+\Delta t)$ (显示步骤):

   • 和显示欧拉法一样，用当前时刻的加速度 $a(t)$ 更新速度。
   $$v(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\cdot \Delta t$$

2. 计算下一时刻的位置 $x(t+\Delta t)$ (隐式步骤):

   • 关键区别: 用刚刚计算出的新速度 $v(t+\Delta t)$ 来更新位置。
   $$x(t+\Delta t)=x(t)+v(t+\Delta t)\cdot \Delta t$$

评估

• 优点:
  • 稳定性好: 在处理振荡系统（如单摆、弹簧、轨道运动）时，它的能量守恒性远超前两者，轨道既不会明显发散也不会明显衰减，非常稳定。
  • 实现简单: 几乎和显示欧拉法一样简单，只是更新位置时使用的速度变量不同，计算开销极小。
• 关键假设: 该方法假设在 $\Delta t$ 时间段内，物体的受力（即加速度）是恒定的。对于大多数力（如重力、弹力）随位置变化的场景，这是一种近似，但只要 $\Delta t$ 足够小，效果就非常好。
• 微小缺点:
  • 相位差 (Phase Error): 尽管能量稳定，但模拟出的运动周期可能会比真实物理世界略长一点点，产生微小的相位偏移。对于绝大多数游戏场景，这种误差是完全可以忽略的。

总结与实践建议

方法	核心思想	优点	缺点	游戏引擎应用
显示欧拉 (Explicit)	用当前速度更新位置	简单直观	不稳定，能量不守恒，会“爆炸”	几乎不用于生产级的物理模拟，仅用于教学或非常简单的场景
隐式欧拉 (Implicit)	用未来速度更新位置	非常稳定	计算复杂（求解方程），能量衰减	用于需要绝对稳定性的离线模拟或特定物理效果（如布料）
半隐式欧拉 (Semi-Implicit)	先更新速度，再用新速度更新位置	稳定且高效，能量守恒性好	有微小相位差	游戏物理引擎的黄金标准，广泛用于角色、载具、刚体等动态模拟

对于游戏引擎开发者而言，半隐式欧拉积分是你实现自定义物理效果时的首选武器。它在稳定性、性能和实现难度之间取得了完美的平衡。

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从质点到刚体动力学

在上一部分我们讨论了如何通过数值积分来模拟物体的运动。这一部分，我们将从简单的质点模型，迈向物理引擎中真正硬核且核心的部分—— 刚体动力学 (Rigid Body Dynamics)，也就是引入“旋转”的世界。

一、 数值积分方法的再思考

在深入刚体动力学之前，我们先对之前提到的积分方法做一个简要的回顾和总结。

• 核心观点: 在游戏物理中，我们几乎无法使用 解析解 (Analytical Solution) （即一个精确的数学公式）来直接计算出任意时刻T1的物理状态。因为绝大多数物理过程过于复杂，不存在解析解。因此，我们必须依赖 数值积分 (Numerical Integration)，一步步地模拟（或称“积分”）物理过程。

• 半隐式欧拉法的优缺点:

  • 优点: 它是目前游戏业界性价比最高、最稳定的数值积分方法之一，能够有效防止能量无故增加导致的“爆炸”现象。
  • 缺点: 该方法存在微小的固有误差。在模拟周期性运动（如简谐振动、圆周运动）时，它会导致模拟出的周期比真实周期略长，产生一个微小的 相位差 (Phase Shift)。不过对于绝大多数游戏场景，这个误差可以接受。

二、 刚体动力学：引入旋转的世界

至此，我们讨论的运动都基于一个前提：所有物体都是 质点 (Point Mass)，即一个只有质量和位置，不考虑其形状、体积和旋转的理想模型。然而，现实世界中的物体（例如一块石头）在运动时不仅会平移，还会旋转。这就引出了刚体动力学的概念。

• 核心观点: 刚体 (Rigid Body) 是一个理想化的模型，它假设物体上任意两点之间的距离在运动过程中保持恒定。这使得我们可以统一处理它的旋转，而不必关心其内部复杂的形变。

• 旋转的物理本质:

  • 从微观上看，旋转并非基本运动。一个刚体由无数原子构成，每个原子都倾向于做匀速直线运动。
  • 旋转是由于物体内部粒子间存在强大的 内力约束 (Internal Constraints) 而产生的宏观表现。当一部分粒子运动时，内力会“拉着”其他粒子一起运动，迫使它们整体围绕某个轴线进行圆周运动，从而形成了旋转。
  • 这也是为什么 柔体 (Soft Body) （如橡皮糖）的模拟比刚体复杂得多的原因，因为它需要考虑内部的形变。

三、 描述旋转的关键物理量

为了在程序中描述和模拟旋转，我们需要引入一套全新的物理概念，它们与我们熟悉的线性运动（平移）中的概念一一对应。

1. 姿态 (Orientation)

• 核心观点: 描述一个刚体在空间中的朝向。
• 数据表示:
  • 旋转矩阵 (Rotation Matrix): 一个 3x3 的矩阵。
  • 四元数 (Quaternion): 一个四维向量，在插值和避免万向锁方面更有优势，是引擎中的常用选择。

2. 角速度 (Angular Velocity, ω)

• 核心观点: 描述物体旋转的快慢和方向，是旋转世界里的“速度”。

• 数据表示: 一个非常巧妙的 3D 向量 ω。

  • 向量方向: 代表当前的旋转轴。
  • 向量模长 |ω|: 代表旋转的速率，单位通常是弧度/秒 (rad/s)。
  • 向量朝向: 遵循 右手法则 (Right-Hand Rule)，决定了绕轴旋转的具体方向（顺时针或逆时针）。

  这个单一的向量同时编码了轴、速率和方向，非常高效。它与线性速度 v 的关系可以通过叉乘来建立：对于刚体上任意一点，其瞬时线速度 v 等于角速度 ω 与该点到旋转中心的径向矢量 r 的叉乘。

  $$\vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}$$

3. 角加速度 (Angular Acceleration, α)

• 核心观点: 描述角速度的变化率，是旋转世界里的“加速度”。
• 数据表示: 同样是一个 3D 向量，代表角速度向量随时间的变化。
• 注意: 当旋转轴也发生变化时，角加速度的计算会变得相当复杂，这里我们暂时不深入。

4. 转动惯量 (Moment of Inertia, I)

• 核心观点: 转动惯量是物体对旋转运动变化的“抵抗力”，是旋转世界中的“质量”。质量抵抗线性加速度，转动惯量则抵抗角加速度。

• 直观理解:

  • 一个物体的质量是固定的，但它的转动惯量却取决于旋转轴。
  • 想象一下旋转一个哑铃：绕着连接两个重物的杆旋转很容易；但如果握住杆的中间，让两个重物绕着你“画大圈”旋转，就会费力得多。这就是因为后者的转动惯量更大。
  • 根本原因在于，物体的质量分布。距离旋转轴越远的质量，对转动惯量的贡献越大（与距离的平方成正比）。

• 从能量角度推导: 一个旋转物体的总动能，是其内所有质点动能的总和。

  • 单个质点 i 的动能: $E_i=\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$
  • 将其线速度用角速度替换: $v_i=\omega r_i$
  • 代入得: $E_i=\frac{1}{2}{m}_i(\omega r_i{)}^2=\frac{1}{2}(m_i{r}_i^2){\omega }^2$
  • 对整个物体积分，总动能为: $E_{total}=\frac{1}{2}(\int r^{2}dm){\omega }^2$
  • 括号中的项 $\int r^{2}dm$ 就是转动惯量 I。这个公式 $E=\frac{1}{2}I{\omega }^2$ 与线性动能 $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ 在形式上完美对应。

• 关键术语: 转动惯量张量 (Inertia Tensor)

  • 转动惯量不是一个简单的标量，因为它依赖于旋转轴的方向。
  • 在三维空间中，它被表示为一个 3x3 的对称矩阵（即张量）。这个张量完整地描述了物体围绕任何通过其质心的轴旋转时的惯性特性。当你提供一个旋转轴（一个向量）时，通过与这个张量进行运算，就能得到对应的转动惯量（一个标量）。

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小结: 这一部分我们从熟悉的质点世界进入了更复杂的刚体世界，核心是理解和量化旋转。我们学习了描述旋转状态（姿态）、旋转速度（角速度）和旋转惯性（转动惯量）等一系列关键概念。这些是构建一个功能完备的物理引擎的基石。在接下来的部分，我们将继续探讨如何将“力”的概念扩展到旋转中，即“力矩”，以及如何将它们整合起来，让刚体真正地“动”起来。

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深入刚体动力学 - 旋转、力矩与角动量

在上一部分我们理解了如何描述物体的姿态（旋转）后，这一部分我们将深入探讨驱动这些旋转变化的物理规律—— 刚体动力学 (Rigid Body Dynamics)。这部分内容将解释为什么物体旋转起来如此复杂，并引入转动惯量、角动量和力矩等核心概念。

一、 转动惯量 (Moment of Inertia): 物体旋转的“惯性”

当我们讨论线性运动时， 质量 (Mass) 是衡量物体惯性的唯一标准。但在旋转运动中，情况变得复杂起来。

• 核心观点: 转动惯量 (Moment of Inertia, I) 是衡量物体维持其旋转状态或抵抗旋转状态改变能力的物理量。它不仅取决于物体的质量，更关键的是取决于质量相对于旋转轴的分布。

• 直观理解: 想象一根长方形的木块。绕着它的短轴（像车轮一样）旋转，会比绕着它的长轴（像螺旋桨一样）旋转要省力得多，尽管木块的质量没有改变。这是因为绕长轴旋转时，大部分质量离旋转轴更远。

• 关键术语:

  • 转动惯量 (Moment of Inertia): 其基础定义可以理解为构成物体的每个质点 $m$ 与其到旋转轴距离 $r$ 的平方的乘积之和 ($\Sigma m\cdot r^2$)。$r$ 的平方项意味着距离对转动惯量的影响远大于质量。
  • 转动惯量张量 (Inertia Tensor): 在三维空间中，转动惯量不是一个简单的标量，而是一个 3x3 的对称矩阵（张量）。它完整地描述了物体绕任何通过其质心的轴旋转时的惯性。

• 公式示例: 对于一个由两个质点 $m_1$ 和 $m_2$ 构成的简单刚体，其质心和姿态确定后，它的转动惯量张量可以表示为：

  $$I=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]$$

  其中对角线元素代表绕 x, y, z 轴的转动惯量，非对角线元素（惯性积）则描述了物体质量分布的不对称性。

• 引擎实践: 在现代游戏引擎中，我们通常不需要手动计算这个复杂的矩阵。当你为一个 Actor 添加了碰撞体（如球体、胶囊体、凸包）并指定了材质密度后，引擎的物理系统会自动为你计算出精确的转动惯量张量。

二、 角动量 (Angular Momentum): 旋转的“动量”

与线性动量（p = mv）相对应，旋转世界中也有一个极其重要的守恒量。

• 核心观点: 角动量 (Angular Momentum, L) 是描述物体旋转状态的物理量，它由 转动惯量 (I) 和 角速度 (ω) 共同决定。在一个不受外力矩作用的系统中，角动量是守恒的。

• 经典案例: 芭蕾舞演员的旋转。

  1. 张开双臂旋转时，质量分布远离中心轴，转动惯量 $I$ 很大 ，因此 角速度 $\omega$ 较慢。
  2. 收回双臂时，质量向中心轴集中，转动惯量 $I$ 变小。
  3. 为了维持角动量 $L=I\ast \omega$ 守恒 ， 角速度 $\omega$ 必须显著增大，于是演员飞速旋转起来。

• 深刻的物理原理 (诺特定理的体现):

  • 动量守恒源于物理规律的空间平移不变性（在宇宙任何地方做实验，规律都一样）。
  • 角动量守恒则源于物理规律的空间旋转不变性（实验朝向任何方向，规律都一样）。 这揭示了守恒定律背后深刻的数学与时空对称性。

三、 力矩 (Torque): 产生旋转的“力”

如果说力 (Force) 是改变物体线性运动状态的原因，那么力矩就是改变物体旋转运动状态的原因。

• 核心观点: 力矩 (Torque, τ) 是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。它的大小等于力的大小与力臂的乘积。

• 直观理解: 越野车的扭矩大，意味着轮子转动的“劲儿”大，能提供更强的攀爬能力。我们用扳手拧螺母时，手握在扳手末端比握在中间更省力，因为增大了力臂，从而增大了力矩。

• 向量表示: 在三维空间中，力矩是一个向量，通过 叉乘 (Cross Product) 定义：

  $$\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}$$
  • F 是作用力向量。
  • r 是从旋转中心指向力的作用点的位移向量（力臂向量）。
  • τ 是最终产生的力矩向量。其方向垂直于 r 和 F 构成的平面，与物体的旋转轴方向重合，方向由右手定则确定。这完美地用线性代数工具描述了旋转的产生。

四、 核心类比：平动与转动的映射关系

刚体动力学中的概念虽然抽象，但它们与我们熟悉的线性动力学（质点动力学）有着惊人的一致性。理解这种对应关系是掌握刚体动力学的捷径。

线性/平动 (Linear/Translational)	旋转 (Rotational)	描述
位置 (Position) x	朝向/角位移 (Orientation) θ	描述物体的时空状态
速度 (Velocity) v	角速度 (Angular Velocity) ω	状态的变化率
加速度 (Acceleration) a	角加速度 (Angular Acceleration) α	变化率的变化率
质量 (Mass) m	转动惯量 (Moment of Inertia) I	惯性的度量
力 (Force) F	力矩 (Torque) τ	改变运动状态的原因
动量 (Momentum) p = mv	角动量 (Angular Momentum) L = Iω	运动的量度，一个守恒量

本质洞察: 刚体动力学并非一套全新的物理法则，而是牛顿定律应用于“内部粒子相对位置不变”这一约束条件下的必然数学推论。

五、 实例剖析：桌球游戏的物理模拟

让我们用一个看似简单但物理细节极其丰富的例子——打桌球，来串联所有知识点。

• 场景简化: 假设桌面绝对光滑（无摩擦），但球杆与母球之间有摩擦力且不打滑。

• 击打动作: 球杆非中心击打母球。

• 物理分析:

  1. 力的分解: 撞击力可以分解为两个部分：
     • 一个通过球的质心的力。
     • 一个与球表面相切的切向力。
  2. 线性运动 (Linear Motion):
     • 通过质心的力在短暂的接触时间内产生 冲量 (Impulse, F·Δt)。
     • 根据动量定理，这个冲量转化为球的线性动量，使球的质心沿着击打方向直线前进。
  3. 旋转运动 (Rotational Motion):
     • 切向力相对于质心产生了 力矩 (Torque)。
     • 这个力矩在接触时间内产生 角冲量 (Angular Impulse, $\tau \cdot \Delta t$)。
     • 角冲量除以球的转动惯量，就得到了球的 角速度 (Angular Velocity)，使球旋转起来。

• 结论: 即使是一个简单的桌球游戏，要想做得逼真，也需要精确模拟上述过程。这恰恰是物理引擎的价值所在——将复杂、反直觉的物理现实，通过严谨的数学和计算，在虚拟世界中重现。

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本讲小结: 我们从转动惯量出发，理解了物体旋转的“难度”由质量分布决定。接着，通过角动量守恒，解释了芭蕾舞演员变速旋转的奥秘。然后，用力矩的概念定义了产生旋转的原因。最后，通过一个桌球实例，我们将所有概念融会贯通，展示了物理引擎在模拟现实世界中的强大能力和内在复杂性。

至此，我们已经了解了如何描述和驱动单个物体的运动。但要构建一个动态的世界，物体之间必须能够相互作用。这就是我们下一部分将要探讨的主题。

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碰撞检测 (Collision Detection)

在前面的部分我们了解了如何描述物体的运动和形态，但要让物理世界变得真实可信，物体之间必须能够相互作用，而不是像幽灵一样互相穿透。实现这一切的核心技术，就是 碰撞检测 (Collision Detection)。

一、 碰撞检测的两阶段核心思想

在虚拟世界中，判断两个由数学描述的复杂物体是否“撞上”并非易事。为了在保证精度的同时兼顾极高的性能要求（例如，每秒30次对成千上万个物体进行检测），现代物理引擎普遍采用一个标准的两阶段流程。

1. 粗筛阶段 (Broad Phase): 快速排除，宏观判断

这个阶段的目标是 用最低的成本，快速排除掉那些“绝对不可能”发生碰撞的物体对，将计算量聚焦在少数可能碰撞的物体上。

• 核心观点: 不关心物体的精确形状，而是使用一个简单的 包围体 (Bounding Volume) 来近似代表物体。
• 关键术语: AABB (Axis-Aligned Bounding Box)，即轴对齐包围盒。这是一种与坐标轴平行的长方体，计算简单，是粗筛阶段最常用的包围体。

2. 精细检测阶段 (Narrow Phase): 精确计算，获取细节

当粗筛阶段认为某两个物体的AABB相交时，它们就会被送入精细检测阶段，进行真正意义上的几何求交测试。

• 核心观点: 对可能碰撞的物体对，进行精确的数学计算，判断它们是否真的发生碰撞，并获取碰撞的详细信息。
• 关键信息:
  • 是否碰撞 (Yes/No): 这是最基本的结果。
  • 碰撞点 (Contact Point): 碰撞发生在哪里？
  • 碰撞法线 (Contact Normal): 碰撞表面的朝向是什么？
  • 穿透深度 (Penetration Depth): 两个物体互相“嵌入”了多深？

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二、 粗筛阶段 (Broad Phase) 的经典算法

1. BVH (Bounding Volume Hierarchy) - 包围体层级结构

这个概念在渲染部分已经介绍过，它同样适用于物理碰撞检测。

• 核心思想: 使用一个树状结构来组织场景中所有物体的包围体。父节点完全包住所有子节点的包围体。检测时，从根节点开始，如果两个节点的包围体不相交，则它们的所有子节点也无需再进行检测。
• 关键优势: 对于动态场景（物体频繁移动）非常高效。因为单个物体的移动通常只会影响树结构中的少数几个节点，更新成本很低。

2. 扫描与排序 (Sort and Sweep, a.k.a. SAP)

这是一种非常巧妙且高效的算法，尤其适用于大部分物体为静态的场景。

• 核心思想:

  1. 将所有物体的AABB在 每一个坐标轴（X, Y, Z）上进行投影，得到一系列的区间（[min, max]）。
  2. 在每个轴上，将所有区间的 端点 (min和max) 作为一个列表进行排序。
  3. 如果两个物体的AABB发生重叠，那么它们在所有坐标轴上的投影区间必然都会重叠。
  4. 通过维护这些排序好的列表，我们可以高效地检测出哪些物体的投影区间正在发生重叠。

• 关键优势:

  • 极高的效率: 对于一个大部分物体静止的场景，排序列表是基本不变的。少数动态物体的位置更新，只会引起排序列表的局部微调，计算成本极低。
  • 算法思想的延伸: 这个“通过投影到轴上判断分离”的思想，与后续会提到的 分离轴定理 (Separating Axis Theorem, SAT) 有异曲同工之妙。

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三、 精细检测阶段 (Narrow Phase) 的目标与挑战

精细检测是真正的数学挑战所在，它计算出的详细碰撞信息是物理响应和游戏表现的基础。

1. 为何需要精确的碰撞信息？

• 为了正确的物理响应:

  • 穿透深度和碰撞法线决定了将物体推开的反作用力的大小和方向。
  • 碰撞点的位置决定了是否会产生 力矩 (Torque)，从而使物体发生旋转（例如：一个箱子角点着地后开始翻滚）。

• 为了丰富的游戏表现:

  • 碰撞事件本身可以触发逻辑，例如播放音效。
  • 碰撞点的位置可以决定在哪里生成特效（如火花、烟雾）。
  • 碰撞力度（可由穿透深度或相对速度估算）可以决定音效的音量和特效的规模。

2. 算法概览

简单几何体

对于规则的、数学上易于表达的形状，碰撞检测算法相对简单。

• 球体 vs 球体 (Sphere vs. Sphere):

  • 核心思想: 判断两个球心的距离是否小于它们半径之和。
  • 公式:

  distance(center_A, center_B) < (radius_A + radius_B)

  • 如果满足该条件，则两个球体发生碰撞。碰撞点、法线和深度也很容易计算。

• 胶囊体 (Capsule):

  • 同样被认为是相对简单的形状，其检测可以分解为点-线段距离、球-球、球-圆柱等子问题。

复杂几何体 (凸包 - Convex Hull)

当物体形状不规则时，就需要更高级和通用的算法。讲座中预告了两个非常重要的算法：

• 关键术语: 闵可夫斯基和/距离 (Minkowski Sum/Distance)
• 关键术语: 分离轴定理 (Separating Axis Theorem, SAT)

这两个算法是现代物理引擎处理复杂凸多面体碰撞检测的基石，我们将在后续内容中深入了解。

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闵可夫斯基和与 GJK 算法

在物理引擎中，精确且高效的碰撞检测是实现真实物理交互的基石。当处理简单的图元（如球体、胶囊体）时，我们可以使用直接的几何或代数方法。然而，当面对任意复杂的凸多面体（Convex Hull）时，我们需要更强大、更抽象的数学工具。本节将深入探讨 闵可夫斯基和（Minkowski Sum） 这一核心概念，以及如何利用它和 GJK 算法 来解决通用的凸体碰撞检测问题。

一、 简单形状的碰撞检测回顾

在深入复杂情况前，我们先快速回顾几种简单形状的检测方法，它们的思路是后续复杂算法的起点。

• 球体 vs 球体 (Sphere vs. Sphere)

  • 核心观点：检测两个球体是否相交，只需计算它们球心之间的距离。
  • 判断依据：如果球心距小于两个球体半径之和（Distance(Center1, Center2) < Radius1 + Radius2），则它们相交。这是最简单、计算最快的碰撞检测。

• 胶囊体 vs 球体 / 胶囊体 vs 胶囊体 (Capsule vs. ...)

  • 核心观点：胶囊体可以被看作是“两个球体”和“一个圆柱”的组合，其本质是一条核心线段。检测可以分解为点、线段、球体之间的最近距离问题。
  • 判断依据：例如，对于胶囊体和球体，关键是计算球心到胶囊体核心线段的最近距离。如果这个距离小于球体半径与胶囊体半径之和，则它们相交。胶囊体间的检测同理，转化为两条核心线段间的最近距离问题。

二、 凸包碰撞检测的核心思想：闵可夫斯基运算

当物体形状变得任意（但仍是凸体）时，直接的几何判别变得异常复杂。伟大的数学家 赫尔曼·闵可夫斯基 (Hermann Minkowski) 提出的概念为我们提供了全新的视角。

1. 闵可夫斯基和 (Minkowski Sum)

• 核心观点：两个形状（点集）A 和 B 的闵可夫斯基和，直观上可以理解为： 将一个形状（B）的“原点”沿着另一个形状（A）的轮廓进行“滑动”或“扫描”，其扫过的所有空间构成的集合。

• 数学定义： 给定两个点集 A 和 B，它们的闵可夫斯基和 $A\oplus B$ 定义为：

  $$A\oplus B=a+b|a\in A,b\in B$$

  即从 A 和 B 中各取一个点，将其矢量相加，所有可能结果组成的新的点集。

• 直观示例：

  • 点 + 形状：将形状进行一次位移。

  • 线段 + 三角形：将三角形沿着线段的方向“拖拽”，形成一个被拉伸的六边形棱柱。

  • 三角形 + 三角形：将一个三角形的中心沿着另一个三角形的边界和内部移动，最终形成一个更大的六边形。

• 重要定理： 两个凸多面体的闵可夫斯基和，结果仍然是一个凸多面体。 更重要的是，这个新凸包的顶点，是由原先两个凸包的所有顶点进行两两相加后，再对结果点集求凸包得到的。这极大地简化了计算。

2. 闵可夫斯基差 (Minkowski Difference)

• 核心观点：闵可夫斯基差是解决碰撞问题的关键。它的定义基于闵可夫斯基和。

• 数学定义： 形状 A 和 B 的闵可夫斯基差 $A\ominus B$ 定义为 A 与 $-B$ 的闵可夫斯基和：

  $$A\ominus B=A\oplus (-B)=a-b|a\in A,b\in B$$

  其中 $-B$ 是将 B 中的每一个点相对于原点取反（$-b|b\in B$）得到的形状。

3. 从数学到碰撞检测的桥梁

• 核心定理：两个凸包 A 和 B 发生碰撞，当且仅当它们的闵可夫斯基差 $A\ominus B$ 所形成的凸包包含坐标系原点 (0,0,0)。

• 理解：

  • 如果 A 和 B 相交，意味着存在一个点 $p$，它同时属于 A 和 B ($p\in A$ 且 $p\in B$)。
  • 根据闵可夫斯基差的定义，$p-p$ 必然是 $A\ominus B$ 集合中的一个点。
  • $p-p=0$，即坐标原点。
  • 因此，只要 A 和 B 相交，它们闵可夫斯基差构成的形状就必然包含原点。反之亦然。

这个定理非常漂亮地将一个复杂的几何相交问题，转化为了一个 “点是否在凸包内” 的数学问题。

三、 高效判定算法：GJK (Gilbert-Johnson-Keerthi)

我们已经知道，判断碰撞等价于判断原点是否在 A ⊖ B 这个闵可夫斯基差形成的凸包内。但我们不想（也没必要）真正地计算出这个复杂的凸包。 GJK 算法 应运而生。

• 核心目标： 高效地、迭代地判断由闵可夫斯基差形成的凸包是否包含原点，而无需显式地计算出整个凸包的几何形状。

• 关键术语：

  • 支撑点 (Support Point)：给定一个方向 d，一个形状 S 的支撑点是在该方向上投影最远的点。A ⊖ B 在方向 d 上的支撑点等于 A 在 d 上的支撑点减去 B 在 -d 上的支撑点。
  • 单纯形 (Simplex)：在 N 维空间中由 N+1 个顶点构成的凸包。在 3D 空间中，单纯形可以是点（0-simplex）、线段（1-simplex）、三角形（2-simplex）或四面体（3-simplex）。GJK 算法通过构建一个逐步逼近原点的单纯形来进行判断。

• 算法流程（直观理解）：

  1. 初始化：任意选择一个方向，计算 A ⊖ B 在该方向上的支撑点，形成一个只包含一个点的单纯形。
  2. 迭代构建单纯形：
     • 从当前单纯形中找到一个朝向原点的方向 d。
     • 计算 A ⊖ B 在新方向 d 上的支撑点，并将其加入到单纯形中，使其“长大”（例如，点变成线段，线段变成三角形）。
  3. 检查与推进：
     • 检查当前单纯形（如线段、三角形、四面体）是否包含了原点。
     • 如果包含原点：碰撞发生，算法成功并终止。
     • 如果不包含原点：从当前单纯形中找到离原点最近的特征（点、边或面），丢弃其他顶点，形成一个新的、更小的单纯形。这个新单纯形定义了下一次迭代寻找支撑点的方向。
  4. 终止条件：
     • 在某次迭代中，新找到的支撑点并没有越过原点（即在朝向原点的方向上没有取得任何“进展”），这说明原点不可能被包含在 A ⊖ B 内部。没有碰撞，算法终止。

• GJK 的优势与扩展：

  • 高效性：GJK 算法通常在几次迭代内就能收敛，其计算复杂度远低于显式构造闵可夫斯基差凸包。
  • 判断点是否在三角形内：在 2D 单纯形（三角形）的判断中，可以通过计算原点的 重心坐标 (Barycentric Coordinates) 来实现。若三个坐标分量都在 [0, 1] 区间内，则原点在三角形内。
  • 扩展应用：GJK 算法不仅能判断是否碰撞，通过其后续的扩展算法（如 EPA, Expanding Polytope Algorithm），还可以精确计算出碰撞后的 穿透深度 (Penetration Depth) 和接触法线，为物理响应提供关键数据。

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碰撞检测进阶与响应

一、 碰撞检测算法的思想精髓回顾

在深入新的算法之前，讲座首先强调了理解算法背后的核心思想比记忆具体实现更为重要。对于上一部分提到的 GJK + Minkowski Difference，其精髓在于两个革命性的转变：

1. 闵可夫斯基差 (Minkowski Difference) 的思想

   • 核心观点: 将两个凸包求交的复杂问题，巧妙地转化为 一个组合凸包（闵可夫斯基和/差）是否包含原点 的简化问题。
   • 意义: 这是一个降维打击式的思路，将两个独立运动物体的相对关系，变成了一个静态几何体与空间中一个特殊点（原点）的关系，极大简化了问题的描述。

2. GJK 算法的思想

   • 核心观点: GJK 并非暴力遍历组合凸包的所有顶点，而是一种迭代逼近的智能算法。它类似于牛顿迭代法，每一次迭代都朝着最可能包含原点的方向前进，快速地判断闵可夫斯基差形成的凸包是否包含原点。
   • 意义: 它提供了一个高效的“是/否”解答，避免了高昂的几何体遍历开销。此外，GJK 的扩展算法（如 EPA）还可以进一步计算 穿透深度 (Penetration Depth)，这对于后续的碰撞响应至关重要。

二、 分离轴定理 (Separating Axis Theorem, SAT)

分离轴定理是另一种在业界广泛应用的、针对凸多面体的精确碰撞检测算法。

核心原理

• 一句话总结: 如果两个凸多面体不相交，那么必然存在一条轴（称为分离轴），这两个物体在该轴上的投影是完全分离的。
• 反向推论 (算法关键): 如果我们测试了所有“可能”成为分离轴的轴，都无法找到一个能将两者投影分开的轴，那么这两个物体就必然相交。

算法执行

对于两个凸多边形/多面体，我们不需要测试空间中无限多的轴。定理证明，需要测试的候选轴是有限且明确的。

• 2D 情况下的候选轴:

  1. 取第一个多边形的所有边的法线作为候选轴。
  2. 取第二个多边形的所有边的法线作为候选轴。
  • 对每一个候选轴，计算两个多边形所有顶点在该轴上的投影，形成两个一维区间。如果这两个区间不重叠，则找到分离轴，算法提前终止，结论为不相交。

• 3D 情况下的候选轴 (更复杂):

  1. 取第一个凸多面体所有面的法线。
  2. 取第二个凸多面体所有面的法线。
  3. （关键补充） 取由 物体A的任意一条边 与 物体B的任意一条边 进行 叉乘 (Cross Product) 得到的所有轴。

     Axis = Edge_A × Edge_B

  • 原因: 在3D空间中，两个物体可能在“边-边”接触时最先分离，仅仅测试面的法线不足以覆盖所有情况。

性能与优化

• 复杂度: 算法的复杂度大致与 M * N 相关（M和N分别是两个物体的边或面的数量），因为它需要迭代测试多种组合。
• 时序相干性优化 (Temporal Coherence): 这是一个非常实用的小技巧。
  • 核心思想: 物体在连续的两帧之间通常只发生微小移动。因此，上一帧找到的那个分离轴，在当前帧极有可能仍然是分离轴。
  • 实践: 将上一帧成功分离两个物体的轴缓存下来，作为当前帧检测的第一个候选轴。这样可以极大地提高算法的平均性能，实现快速“early out”。

三、 碰撞响应 (Collision Response)

当我们通过上述算法检测到碰撞后，下一步就是如何“解决”这个碰撞，让物理表现看起来真实可信。

问题根源：离散时间步导致的穿透

在物理引擎中，时间是以离散的步长 Δt (delta time) 向前推进的。这导致在计算下一帧位置时，两个物体可能已经直接 互相穿透 (Interpenetration) 了。我们的任务就是修正这个错误状态。

1. 传统方法：惩罚力 (Penalty Force)

• 核心思想: 简单粗暴。一旦检测到两个物体穿透，就给它们施加一个巨大的、方向相反的力，将它们猛地推开。
• 致命缺陷:
  • 不稳定: 力的强度很难把握。力太小，物体分离不开，看起来像粘在一起；力太大，物体会被“炸飞”，尤其是在多个物体堆叠（stacking）的场景下，会引发连锁反应，导致整个堆叠物“爆炸”。
  • 不真实: 这种“事后补救”的方式会产生剧烈的速度变化，与真实的物理碰撞过程相去甚远。

2. 现代方法：基于约束的物理 (Constraint-Based Physics)

这是现代物理引擎（如PhysX, Bullet, Havok）普遍采用的更优越的范式。

• 核心思想: 将物理问题从 模拟力 (Force Simulation) 转化为 求解约束 (Constraint Solving)。我们不再问“应该加多大的力”，而是定义一系列规则（约束），然后通过数学方法找到一个满足所有规则的解。
  • 约束示例: “两个刚体不能互相穿透”，即 Distance(A, B) >= 0。
• 理论基础: 拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics)。
  • 与牛顿力学直接描述力、质量和加速度的关系不同，拉格朗日力学通过能量和约束来描述整个系统的运动。它提供了一套将物理规则转化为数学方程组的强大框架。
  • 对计算机更友好: 这种方法将复杂的物理交互转化为一个大型的线性或非线性方程组求解问题，非常适合用计算机数值方法（如迭代求解器）来处理。虽然背后的数学（如雅可比矩阵）非常复杂，但其思想范式上的转变是现代物理引擎稳定性和真实性的基石。

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本讲总结:

这一部分从算法思想的高度，对比了两种主流的碰撞检测方法（GJK 和 SAT），并强调了 SAT 在3D环境下的复杂性以及性能优化的关键。随后，将视角转向碰撞响应，清晰地指出了从传统的惩罚力模型到现代基于约束模型的演进路径。这种从“模拟”到“求解”的思想转变，是理解现代物理引擎工作原理的核心。

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从约束求解到性能优化

在现代游戏引擎中，物理模拟不仅仅是简单的“力与运动”。为了实现稳定、高效且可信的物理世界，引擎开发者采用了一系列精妙的数学和算法思想。本篇笔记将深入探讨讲座中提到的几个核心概念：从牛顿力学到拉格朗日力学的思想转变、强大的约束求解器、实用的场景查询技术以及至关重要的性能优化策略。

一、 物理模拟的核心思想：从牛顿力学到拉格朗日力学

传统的物理模拟思路源于牛顿力学，即“施加一个力，产生一个加速度”。当物体发生穿透时，我们会施加一个巨大的“惩罚力”将其推开。但这种方法存在一个致命缺陷：惩罚力的大小极难控制，过小则无法解决穿透，过大则会导致物体被“炸飞”，造成系统不稳定。

为了解决这个问题，现代物理引擎更倾向于采用一种更抽象、但对计算机更友好的方法—— 拉格朗日力学 (Lagrangian Mechanics)。

• 核心观点: 拉格朗日力学将物理过程视为一系列 数学约束 (Constraint) 的求解问题，而不是直接的力学模拟。它不问“应该施加多大的力”，而是问“物体应该在什么位置和状态才能满足所有约束（如‘不能穿透地面’）”。

• 优势: 这种方法将一个复杂的力学问题转化为了一个数学优化问题。计算机非常擅长通过迭代来求解这类问题，从而能够获得 更稳定、更可控 的模拟结果。

二、 约束求解器：迭代的力量

当一个约束（如碰撞）发生时，约束求解器 (Constraint Solver) 不会一次性计算出一个完美的“修正力”，而是通过一个迭代过程逐步逼近正确解。

• 核心观点: 求解器通过反复施加微小的 冲量 (Impulse)，并不断检查其是否满足约束，来逐步修正物体的状态。这个过程会一直持续，直到误差小到可以接受的范围，或者达到预设的迭代次数上限。

• 关键算法: 高斯-塞德尔方法 (Gauss-Seidel Method)

  • 这是一种在现代物理引擎中被广泛应用的迭代式求解算法。
  • 工作流程:
    1. 检测到穿透（违反约束）。
    2. 施加一个小的冲量进行初步修正。
    3. 重新评估约束，计算出当前的 偏差（误差）。
    4. 根据这个偏差，计算并施加下一个更精确的微小冲量。
    5. 重复步骤 3 和 4，直到偏差足够小。
  • 退出条件:
    1. 误差阈值: 当计算出的偏差小于某个预设值时，认为求解成功。
    2. 最大迭代次数: 为防止无限循环或单帧耗时过长，当迭代次数达到上限时，强制退出，接受当前的结果。

注: 这个过程在数学上涉及到 雅可比矩阵 (Jacobian Matrix) 等概念，但其核心思想就是这种“小步快跑、不断修正”的迭代优化。

三、 场景查询 (Scene Queries)：与物理世界交互

物理引擎不仅要模拟物体的运动，还要能响应各种查询，这是游戏逻辑与物理世界交互的桥梁。常见的场景查询有以下三种：

1. 射线检测 (Ray Casting / Raycast)

像发射一束无限长的激光，检测它会碰到哪些物体。常用于子弹弹道、玩家视线检测等。

• Multiple Hit: 返回射线路径上所有的碰撞点。
• Closest Hit: 只返回最近的那个碰撞点（最常用，如子弹击中第一个敌人）。
• Any Hit: 只要检测到任何碰撞就立刻返回 true，不关心具体是哪个或远近。
• 关键知识点: Any Hit 的计算成本是最低的，因为它无需对结果进行排序或查找所有交点，检测到第一个碰撞即可终止。这在只需要判断“是否被遮挡”的场景中非常高效。

2. 扫描检测 (Sweep)

将一个 几何体（如胶囊体、球体） 沿着一个方向移动一段距离，检测在这个过程中是否会与其他物体发生碰撞。

• 核心用途: 对于有体积的物体（如角色）的移动检测至关重要。一个点状的射线检测无法判断角色的肩膀是否会撞墙或头顶是否会碰到屋檐，而使用角色的胶囊体进行 Sweep 则可以精确处理这些情况。

3. 重叠检测 (Overlap)

给定一个 静态的几何体（如球体、立方体），查询当前场景中有哪些物体与它发生了重叠。

• 核心用途: 非常适合范围效果的检测。例如，当一颗手雷爆炸时，可以在爆炸中心创建一个临时的球状几何体，通过 Overlap 查询来快速找到所有受到爆炸影响的角色和物体。

四、 碰撞分组 (Collision Groups)：优化查询效率

为了避免不必要的计算，物理引擎允许开发者为世界中的物体进行分组和标记。

• 核心观点: 通过为物体设置不同的 碰撞组 (Collision Group)，我们可以在进行场景查询或物理模拟时，精确地指定“谁和谁会发生交互”。
• 分类示例:
  • Static: 静态物体，如墙壁、地面。
  • Dynamic: 动态物体，如箱子、石块。
  • Character/Pawn: 玩家或AI角色。
  • Trigger: 触发器，仅用于逻辑检测，没有物理实体。
• 应用: 当发射一颗子弹（Raycast）时，可以指定它只与 Static、Dynamic 和 Character 组的物体进行碰撞检测，而完全忽略 Trigger，从而大大提升查询效率。

五、 性能优化：让物理世界高效运转

物理模拟的计算量巨大，而游戏对帧率的要求极为严苛（通常物理计算只有 2-4 毫秒的预算）。因此，高效的性能优化策略是必不可少的。

1. 岛屿 (Islands) 与休眠 (Sleeping)

这是物理引擎中最重要的性能优化机制之一。

• 核心观点: 引擎不会在每一帧都更新世界中的所有物体。它会将相互接触或邻近的动态物体组织成一个个的 岛屿 (Islands)。
• 休眠 (Sleeping):
  • 当一个“岛屿”中的所有物体都趋于静止（速度和角速度低于某个阈值），整个岛屿就会进入休眠状态。
  • 处于休眠状态的物体将不再参与物理计算，直到它们被外力（如其他物体的碰撞、玩家的交互）“唤醒”。
  • 这个机制极大地减少了不必要的计算，让计算资源能集中在真正需要模拟的活动区域。

2. 连续碰撞检测 (Continuous Collision Detection - CCD)

用于解决高速物体带来的一个经典问题。

• 问题: 隧穿效应 (Tunneling)
  • 由于物理模拟是离散的（按帧更新），一个高速移动的小物体（如子弹）在上一帧可能还在墙前，在下一帧就直接移动到了墙后，导致两帧的位置都未与墙体发生重叠，从而“穿墙而过”。
• 解决方案: 连续碰撞检测 (CCD)
  • CCD 不再仅仅检测物体在离散时间点上的位置，而是通过 扫描检测 (Sweep) 的方式，检测物体在从上一帧到当前帧的整个运动轨迹中是否会发生碰撞。
  • CCD 的计算成本远高于离散检测，因此通常只对特定的高速物体（如子弹、快速移动的角色）开启。
• 简易替代方案: 在某些情况下，一个简单粗暴但有效的方法是将薄墙做得更厚，使得物体在一个时间步内的位移不足以完全穿过它。

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从隧穿效应到确定性圣杯

本篇笔记聚焦于物理引擎中两个非常重要且具有挑战性的高级主题： 连续碰撞检测 (CCD) 和 确定性 (Determinism)。前者解决了高速物体“穿墙”的经典难题，而后者则是现代网络游戏中物理同步的基石，被誉为物理引擎的“圣杯”。

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一、 隧穿效应 (Tunneling) 与连续碰撞检测 (CCD)

1. 核心问题：物理世界中的“量子隧穿”

在离散的物理模拟中（即按固定的时间步 $\Delta t$ 进行更新），一个高速运动的小物体可能会在一帧之内完全穿过一个薄的障碍物。

• 前一帧：物体在墙前。
• 后一帧：根据 $P(t+\Delta t)=P(t)+V(t)\ast \Delta t$ 计算，物体的新位置已经在墙后。

由于在两个离散的时间点上都没有检测到碰撞，物体就像“量子隧穿”一样穿墙而过。这在游戏中是常见的 Bug，例如被手雷炸飞的垃圾桶直接穿过多面墙壁。

2. 解决方案演进

• 简单粗暴的规避方案

  • 核心观点：在美术层面解决问题，而非技术层面。
  • 方法：要求美术师将游戏世界中的墙体、地板等障碍物做得足够厚，厚到任何可预见的物体在一个 $\Delta t$ 内都无法完全穿越。
  • 缺点：这种方法限制了美术表现（例如无法制作薄木板房），且治标不治本。

• 根本性的技术方案：连续碰撞检测 (Continuous Collision Detection, CCD)

  • 核心观点：CCD 不再检查离散时间点的状态，而是分析物体在整个时间段 $[t,t+\Delta t]$ 内的运动轨迹是否与环境发生碰撞。
  • 关键术语：
    • 连续碰撞检测 (CCD)：一种检测运动物体在一段时间内是否会发生碰撞的技术。
    • 保守估计 (Conservative Advancement)：CCD 的一种常用策略。引擎会计算出一个“安全距离”，在此距离内物体可以自由移动。当物体接近障碍物，即将进入不安全区域时，引擎会减小模拟步长，进行更精细、更频繁的碰撞检测，从而精确捕捉到碰撞发生的时间点。
  • 与 Sweeping 的关系：
    • 我们之前提到的 Sweeping (扫描检测)，例如将一个胶囊体沿着其运动轨迹进行扫描，本质上就是一种针对简单凸形（如球、胶囊体）的 CCD 实现。
    • 对于 复杂的网格 (Complex Hull)，CCD 的实现会更加复杂和耗时。
  • 应用场景：CCD 对于主角和 与玩家视觉表现、游戏性密切相关的物体 至关重要，是现代物理引擎的核心功能之一。

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二、 物理引擎的圣杯：确定性 (Determinism)

1. 核心概念：什么是确定性？

确定性 (Determinism) 指的是，对于完全相同的初始状态和完全相同的输入序列，物理引擎每次运行都必须产生完全相同的结果。

相同的输入 + 相同的规则 = 绝对相同的结果

这与物理学中的“不确定性原理”相反，在虚拟的游戏世界中，我们追求的是绝对的、可复现的确定性。

2. 为何确定性如此重要？网络游戏的“平行宇宙”问题

• 核心观点： 在网络游戏中，每个玩家的客户端都在独立地模拟同一个物理世界。确定性是保证所有玩家看到一致世界的唯一方法。
• “平行宇宙”隐喻：玩家 A 和玩家 B 的客户端就像两个独立的“平行宇宙”，它们遵循相同的物理法则。如果物理模拟不具备确定性，即使初始状态和玩家输入完全一致，两个宇宙中的物体状态（例如一堵墙是否倒塌）也会逐渐产生分歧（Divergence），导致游戏体验完全割裂。

3. 确定性的巨大价值：简化网络同步

• 核心观点： 如果物理引擎是确定性的，客户端之间就不再需要同步海量的物理状态（位置、旋转、速度等），而只需要同步玩家的输入（按键、鼠标移动等）。
• 优势：这种仅同步输入的模式可以极大地降低网络带宽需求，是实现大规模、复杂物理交互网络游戏的关键。

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三、 确定性的挑战：混沌的根源

实现完全的确定性极其困难，因为模拟过程中充满了导致结果发散的“混沌”来源。

1. 可变的时间步长 (Variable Timesteps)

• 问题：不同性能的电脑有不同的帧率，导致物理更新的 $\Delta t$ 不一致，即使是微小的差异，经过长时间累积也会导致巨大的结果偏差。
• 解决方案：采用 固定的物理更新步长 (Fixed Timestep)。无论渲染帧率如何波动，物理模拟都以一个固定的频率（如 60Hz）进行更新。

2. 算法的执行顺序 (Algorithm Execution Order)

• 问题：许多物理算法（如约束求解、SAT、GJK）内部包含迭代和遍历。遍历的顺序（例如，先处理哪个碰撞对，先检测哪个分离轴）会轻微影响计算结果。如果这个顺序在不同机器或不同运行次序中发生变化，就会引入不确定性。
• 解决方案：必须保证所有约束和迭代的处理顺序是严格固定和可预测的。

3. 浮点数的不稳定性 (Floating-Point Instability)

• 问题：这是最棘手的问题。
  • 精度误差：浮点数本身就是对实数的近似表示，计算过程中会不断累积误差。
  • 硬件差异：尽管有 IEEE 754 标准，但不同的硬件实现（如不同型号的 CPU、CPU vs GPU、PC vs 移动端）在处理某些浮点运算时可能存在微小的差异。
• 混沌效应：初始条件的微小误差（就像浮点数误差）在复杂的非线性系统（如多体物理模拟）中被迅速放大，最终导致完全不同的结果。这与“三体问题”所体现的混沌现象有相似之处。

现代引擎的努力：像 Unreal Engine 的 Chaos 物理引擎就声称在解决确定性问题上付出了巨大努力，但这是一个仍在被持续攻克的行业难题。

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Q&A

Q1: 物理模拟越逼真，游戏就越好玩吗？

• 答案：不一定。游戏的核心是 游戏性 (Gameplay)。
• 但是，高度逼真的物理模拟是一个引擎技术水平的重要标志，并且能够催生出许多开发者意想不到的 涌现式玩法 (Emergent Gameplay)，因为玩家可以利用自己对现实物理规律的直觉在游戏中进行创造性的尝试。

Q2: 游戏的动画、渲染和物理的更新频率 (Tick Rate) 是一样的吗？

• 答案： 通常不一样，这是现代游戏引擎设计的关键点。
• 渲染 (Rendering)：通常以可变速率运行，尽可能快地刷新屏幕（例如 60Hz, 120Hz, 144Hz）。
• 物理 (Physics)：为了稳定性和确定性，通常运行在 固定的时间步长 (Fixed Timestep) 下（例如 30Hz 或 60Hz）。
• 同步机制：当渲染频率高于物理更新频率时，渲染引擎会通过 插值 (Interpolation) 来平滑地展示两个物理“快照”之间的物体运动，从而避免画面卡顿，让玩家感觉物体运动是连续的。

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渲染、物理与逻辑的不同步更新策略 (Asynchronous Update)

在传统的观念中，游戏世界似乎是以一个固定的节拍（Tick）在前进。但为了优化性能和提升玩家体验，现代引擎早已采用了更加灵活的异步更新策略。

核心观点

游戏引擎的不同子系统（渲染、物理、逻辑）可以也应当以不同的频率进行更新，通过插值等技术来弥合频率差异，从而在保证关键体验（如画面流畅度）的同时，节约不必要的计算资源。

关键要点

• 解耦不同模块的更新频率:

  • 渲染 (Rendering): 追求尽可能高的帧率（如 60-120 FPS），核心目标是保证相机移动、UI动画等视觉元素的丝滑感。
  • 物理 (Physics): 无需与渲染帧率绑定。得益于现代物理算法的稳定性，物理模拟通常可以固定在较低的频率（如 30 FPS）运行，这足以保证大多数场景的连续性和准确性。
  • 游戏逻辑 (Game Logic): 更新频率可以更低，特别是对于非时间敏感的逻辑（如 AI 决策、任务状态更新），甚至可以降至 10-15 FPS。

• 衔接不同频率的桥梁：插值 (Interpolation)

  • 当渲染频率远高于物理更新频率时，为了避免物体“瞬移”或“卡顿”的观感，渲染引擎会在两个物理“滴答”（Ticks）之间，根据物体的位置和旋转信息进行插值计算。
  • 这样，即使物理世界在 1/30 秒才更新一次状态，渲染器也能在 1/120 秒的每一帧里，都绘制出一个平滑过渡的中间状态，让玩家感觉整个过程是完全连续的。

Q3: GPU在物理计算中的应用

随着 GPU 架构的发展，其强大的并行计算能力不再局限于图形渲染，也越来越多地被用于通用计算，物理模拟便是其中一个绝佳的应用场景。

核心观点

GPU非常适合执行物理计算，特别是那些可以被大规模并行化处理的模拟任务。现代图形API（如 Compute Shader）和计算架构（如 CUDA）极大地推动了这一趋势。

关键要点

• 为什么GPU适合物理计算？

  • 物理模拟中的许多计算，例如计算成千上万个粒子的受力与运动，本质上是数据并行的。每个粒子（或布料顶点、流体单元）的计算逻辑相似，可以被分配到 GPU 的众多核心上同时处理。这种 可并行化 (Parallelizable) 的特性与 GPU 的设计哲学完美契合。

• 关键技术与应用领域:

  • Compute Shader 和 CUDA: 提供了直接在 GPU 上执行通用计算程序的强大接口，是实现 GPU 物理加速的核心技术。
  • 典型应用:
    • 布料模拟 (Cloth Simulation)
    • 粒子系统 (Particle Systems)，如烟雾、火花效果。
    • 流体/水面模拟 (Fluid/Water Simulation)

• 商业驱动:

  • 以 NVIDIA 的 PhysX 为例，硬件厂商大力推广 GPU 加速的物理引擎，不仅展示了其硬件的计算能力，也以此作为卖点，推动显卡的销售。

Q4: 网络游戏中的物理同步：客户端表现与服务器同步的权衡

将物理系统引入网络游戏，会立刻面临一个棘手的问题：如何保证所有玩家看到的世界是一致的？这涉及到客户端与服务器之间的复杂权衡。

1. 主流实践：客户端的“视觉物理”

在许多网络游戏中，物理效果更多是一种“糖衣”，用于增强视觉表现，而不影响核心玩法。

• 核心观点: 大部分网络游戏中，真正影响战斗结果的物理模拟并不会在服务器上运行。物理效果（如爆炸、场景破碎）通常只在客户端本地计算和播放，作为纯粹的视觉表现。
• 原因: 服务器通过 预设的规则 (Rules) 而非复杂的物理模拟来判定游戏逻辑（如伤害、技能效果），这极大地简化了服务器的计算负担，并从根本上避免了同步问题。

2. 服务器物理的挑战：确定性与同步

当物理效果需要影响核心玩法时（例如，一面被炸开的墙可以成为新的射击通道），就必须考虑在服务器上运行物理模拟，但这会引入新的巨大挑战。

• 核心挑战: 非确定性 (Non-determinism)。

  • 由于浮点数精度、不同CPU架构等细微差异，同一个物理模拟在不同的机器上（包括服务器和各个客户端）运行，可能会得到完全不同的结果。
  • 经典案例：可破坏的墙 (Destructible Wall)
    • 玩家A用火箭筒炸开一堵墙。在A的客户端，墙上破了一个大洞，他可以利用洞的边缘作为掩护。
    • 在玩家B的客户端，由于计算误差，洞的形状、大小可能完全不同，A可能完全暴露在B的视野中。
    • 这种不一致性会直接破坏游戏的公平性和可玩性。

• 同步难题:

  • 为了解决不一致，服务器必须将自己计算出的“权威”物理世界状态，频繁地同步给所有客户端。这不仅对服务器性能要求极高，还会产生巨大的网络带宽开销。

3. 解决方案与未来方向：确定性物理引擎与帧同步

面对上述挑战，业界正在探索以“确定性”为核心的解决方案。

• 核心观点: 如果能保证物理引擎是 确定性的 (Deterministic)，即在任何机器上，对于相同的输入序列，总能产生完全相同的结果，那么就可以采用更高效的同步方案。

• 关键技术：帧同步 (Frame Synchronization)

  • 这是一种不直接同步游戏状态（如物体位置、旋转）的同步模型。
  • 工作原理:
    1. 所有客户端从一个完全相同的初始世界状态开始。
    2. 服务器只负责收集所有玩家的 输入 (Inputs) （如按键、鼠标移动），并将这些输入广播给所有客户端。
    3. 每个客户端在本地运行确定性的游戏和物理模拟，处理完全相同的输入序列。
  • 结果: 由于确定性的保证，所有客户端将独立地计算出完全一致的游戏世界，从而解决了同步问题，且网络开销极小（只需同步输入数据）。

• 未来展望:

  • 目前，在服务器上运行完整物理引擎的网游仍是少数，技术挑战依然存在。
  • 但随着游戏越来越强调交互性和真实感，以及确定性物理引擎技术的不断成熟，服务器端物理模拟与帧同步方案，将是未来一个非常重要的发展方向。

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